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スターリングの公式 [Math]

最近個人的な理由で、ランダムウォークを理解するため、
二項分布から正規分布を求める式変形を理解しようとしています。
その中で出てくるスターリングの公式です。

ここで書くまでもなく、ググれば良質な情報がいくらでも出てきますが、
理解した気になるために、ここに書いておきます。



両辺の対数をとる



log(1+x)をマクローリン展開 [Math]

二項分布から正規分布を求めようとしています。
その中で log(1+x) のマクローリン展開が出てくるのでメモっておきます。

マクローリン展開はテイラー展開の x=0 の周りで展開するバージョン

テイラー展開


マクローリン展開は a=0 なので


n=3 以降は O(3) とかやって捨てるので n=2 までが必要です。
そのためには x=0 のときの log(1+x) の微分と二回微分が出てくるので計算しておきます。

log(1+x)の微分

x=0 のときは 1

log(1+x)の二回微分

x=0 のときは -1


あと log(1+x) の x=0 のときのゼロ階微分は 0。
これらを使って、log(1+x) をマクローリン展開



3乗の項以降は O(3) と書いて、最終的には捨てました。

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