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二項分布でランダムウォーク [Math]

何かと出てくるランダウウォークですが、Scilab でシミュレーションして
理解した気になりたいところですが、こればかりは式の導出を避けては通れ
なさそうなので、導出をトレースしてわかった気になろうと思います。

原点からステップ毎に確率1/2で -1 or 1 を選んで移動する現象があるとします。
ステップ回数が多いとだんだん原点から離れていきます。この現象の何が大事
なのかというとこのサイトにとてもわかりやすくまとまっていて次の3つが
挙げられています。

1. n ステップ後に x にいる確率は正規分布になる
2. 分布の幅が√n で広がっていく
3. 原点にいる確率は 1/√n で減っていく

この3つを見ておきたいと思います。

式の導出は一応自分でも手計算で確認しつつ、こちらにまとめました。

nステップ後に位置mにいる確率



式変形により正規分布の形に近似した式

a はステップ毎の移動距離。xは位置(x=a*m)。

平均0、分散μの正規分布


正規分布と比べると

と対比できるので、「分布の幅が√n で広がっていく」のがわかります。

また、原点にいる確率は

これから「原点にいる確率は 1/√n で減っていく」というのも見て取れます。
なるほど。


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