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二項分布から拡散方程式 [Math]

二項分布では n ステップ後に位置 x にいる確率は p(x,n) で表しました。
この確率から差分方程式を作って拡散方程式が導かれます。せっかく p(x,n)
前回計算したので、拡散方程式も見てみないとモッタイナイのでここに
書いておきます。なお、内容は検索で出てきた立命館大学の講義資料
まんまです。

今回 x は変数変換後の変数として使うので、変換前は m と書いておきます。
なので、n ステップ後に位置 m にいる確率を p(m,n) と今回は表記します。

ステップ n+1 で m にいる確率 p(m,n+1)は以下のようになる。


(ステップ n で m-1 にいる確率)*(右に移動する確率)と
(ステップ n で m+1 にいる確率)*(左に移動する確率の和。

これを変形して(こんな変形思いつかないけど、賢い人は変形できるんでしょうねぇ)


変数変換で極限をとって連続にする。




連続版の確率密度分布を f(x,t) とすると、区間 Δx の確率は次のように表せる。


差分方程式を f(x,t) で表すと

微分の形に変形して

こんな変形絶対できないんですけど。まぁ、天才アインシュタイン
考えてノーベル賞を取った理論だそうなので、できなくて当然。

を保ったまま
そんなこと言われても、ああそうですかとしか。

最終的に得たのが次の式で、Dを拡散係数と呼ぶ。


元の講義ノートから変数の文字を変えたりして結局見にくくなった感が。。。
まぁこれを書いてわかった気になるのがひとつの目的なので。

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