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二項分布から拡散方程式　 [Math]

二項分布では n ステップ後に位置 x にいる確率は p(x,n) で表しました。
この確率から差分方程式を作って拡散方程式が導かれます。せっかく p(x,n)
を前回計算したので、拡散方程式も見てみないとモッタイナイのでここに
書いておきます。なお、内容は検索で出てきた立命館大学の講義資料の
まんまです。

今回 x は変数変換後の変数として使うので、変換前は m と書いておきます。
なので、n ステップ後に位置 m にいる確率を p(m,n) と今回は表記します。

ステップ n+1 で m にいる確率 p(m,n+1)は以下のようになる。

$p(m,n+1)=\frac{1}{2}p(m+1,n)+\frac{1}{2}p(m-1,n)$
(ステップ n で m-1 にいる確率)*(右に移動する確率)と
(ステップ n で m+1 にいる確率)*(左に移動する確率の和。

これを変形して(こんな変形思いつかないけど、賢い人は変形できるんでしょうねぇ)
$p(m,n+1)-p(m,n)=\frac{1}{2}\left\{p(m+1,n)+p(m-1,n)-2p(m,n)\right\}$

変数変換で極限をとって連続にする。
$x=m\Delta x$
$t=n\Delta t$
$\Delta{x}\to{0},\Delta{t}\to{0}$

連続版の確率密度分布を f(x,t) とすると、区間 Δx の確率は次のように表せる。
$p(x,n)=f(x,t)\Delta{x}$

差分方程式を f(x,t) で表すと
$f(x,t+\Delta{t})=\frac{1}{2}\left\{ f(x+\Delta{x},t)+ f(x-\Delta{x},t)-2f(x,t)\right\}$
微分の形に変形して
$\frac{f(x,t+\Delta{t})-f(x,t)}{\Delta t}=\frac{{\Delta{x}}^2}{2\Delta{t}} \frac{ \frac{f(x+\Delta{x},t)-f(x,t)}{\Delta x} + \frac{f(x,t)-f(x-\Delta{x},t)}{\Delta{x}}}{\Delta x}$
こんな変形絶対できないんですけど。まぁ、天才アインシュタインが
考えてノーベル賞を取った理論だそうなので、できなくて当然。

$\frac{{\Delta{x}}^2}{2\Delta t}=D$ を保ったまま $\Delta x \to 0, \Delta t \ to 0$
そんなこと言われても、ああそうですかとしか。

最終的に得たのが次の式で、Dを拡散係数と呼ぶ。
$\frac{\partial f(x,t)}{\partial t}=D\frac{\partial^2 f(x,t)}{\partial x^2}$

元の講義ノートから変数の文字を変えたりして結局見にくくなった感が。。。
まぁこれを書いてわかった気になるのがひとつの目的なので。

2014-07-24 01:30 nice!(0) コメント(0) トラックバック(0)

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