二項分布から拡散方程式 [Math]
二項分布では n ステップ後に位置 x にいる確率は p(x,n) で表しました。
この確率から差分方程式を作って拡散方程式が導かれます。せっかく p(x,n)
を前回計算したので、拡散方程式も見てみないとモッタイナイのでここに
書いておきます。なお、内容は検索で出てきた立命館大学の講義資料の
まんまです。
今回 x は変数変換後の変数として使うので、変換前は m と書いておきます。
なので、n ステップ後に位置 m にいる確率を p(m,n) と今回は表記します。
ステップ n+1 で m にいる確率 p(m,n+1)は以下のようになる。
=\frac{1}{2}p(m%2B1,n)%2B\frac{1}{2}p(m-1,n))
(ステップ n で m-1 にいる確率)*(右に移動する確率)と
(ステップ n で m+1 にいる確率)*(左に移動する確率の和。
これを変形して(こんな変形思いつかないけど、賢い人は変形できるんでしょうねぇ)
-p(m,n)=\frac{1}{2}\left\{p(m%2B1,n)%2Bp(m-1,n)-2p(m,n)\right\})
変数変換で極限をとって連続にする。



連続版の確率密度分布を f(x,t) とすると、区間 Δx の確率は次のように表せる。
=f(x,t)\Delta{x})
差分方程式を f(x,t) で表すと
=\frac{1}{2}\left\{ f(x%2B\Delta{x},t)%2B f(x-\Delta{x},t)-2f(x,t)\right\})
微分の形に変形して
-f(x,t)}{\Delta t}=\frac{{\Delta{x}}^2}{2\Delta{t}} \frac{ \frac{f(x%2B\Delta{x},t)-f(x,t)}{\Delta x} %2B \frac{f(x,t)-f(x-\Delta{x},t)}{\Delta{x}}}{\Delta x})
こんな変形絶対できないんですけど。まぁ、天才アインシュタインが
考えてノーベル賞を取った理論だそうなので、できなくて当然。
を保ったまま
そんなこと言われても、ああそうですかとしか。
最終的に得たのが次の式で、Dを拡散係数と呼ぶ。
}{\partial t}=D\frac{\partial^2 f(x,t)}{\partial x^2})
元の講義ノートから変数の文字を変えたりして結局見にくくなった感が。。。
まぁこれを書いてわかった気になるのがひとつの目的なので。
この確率から差分方程式を作って拡散方程式が導かれます。せっかく p(x,n)
を前回計算したので、拡散方程式も見てみないとモッタイナイのでここに
書いておきます。なお、内容は検索で出てきた立命館大学の講義資料の
まんまです。
今回 x は変数変換後の変数として使うので、変換前は m と書いておきます。
なので、n ステップ後に位置 m にいる確率を p(m,n) と今回は表記します。
ステップ n+1 で m にいる確率 p(m,n+1)は以下のようになる。
(ステップ n で m-1 にいる確率)*(右に移動する確率)と
(ステップ n で m+1 にいる確率)*(左に移動する確率の和。
これを変形して(こんな変形思いつかないけど、賢い人は変形できるんでしょうねぇ)
変数変換で極限をとって連続にする。
連続版の確率密度分布を f(x,t) とすると、区間 Δx の確率は次のように表せる。
差分方程式を f(x,t) で表すと
微分の形に変形して
こんな変形絶対できないんですけど。まぁ、天才アインシュタインが
考えてノーベル賞を取った理論だそうなので、できなくて当然。
そんなこと言われても、ああそうですかとしか。
最終的に得たのが次の式で、Dを拡散係数と呼ぶ。
元の講義ノートから変数の文字を変えたりして結局見にくくなった感が。。。
まぁこれを書いてわかった気になるのがひとつの目的なので。